A teoría da probabilidade. Probabilidade dun evento, evento ocasional (teoría da probabilidade). desenvolvementos independentes e compatibles na teoría da probabilidade

É pouco probable que moita xente pensa que é posible contar eventos, que de certa forma accidental. Para poñelas en palabras simples, é realista para saber cal lado do cubo en que os datos van caer na seguinte. Foi esta pregunta a facer dous grandes científicos, lanzou as bases para esta ciencia, a teoría da probabilidade, probabilidade do evento no que o estudado extensivamente suficiente.

xeración

Se tentar definir un concepto como a teoría da probabilidade, temos o seguinte: este é un dos ramos da matemática que estuda a constancia de eventos aleatorios. Claramente, este concepto realmente non revelar a esencia, entón tes que considerar con máis detalle.

Quere comezar cos fundadores da teoría. Como se mencionou anteriormente, houbo dúas, que por Ferma e Blez Paskal. Eles foron o primeiro intento de utilización de fórmulas e cálculos matemáticos para calcular o resultado dun evento. En xeral, os rudimentos desta ciencia é aínda na Idade Media. Mentres varios pensadores e científicos intentaron analizar os xogos de Casino como a ruleta, Craps, etc., así, establecer un estándar, ea perda de porcentaxe dun número. A fundación tamén foi no século XVII foron os estudiosos anteriormente mencionados.

Inicialmente, o seu traballo non pode ser atribuída ás grandes conquistas neste campo, ao final, o que fixeron, eles eran simplemente feitos empíricos e experimentos foron claramente sen usar fórmulas. Co tempo, el virou-se para conseguir grandes resultados, que apareceu como un resultado da observación do reparto dos ósos. Este instrumento axudou a traer a primeira fórmula distinta.

partidarios

Sen esquecer un home como Christiaan Huygens, no proceso de estudar o tema que leva o nome de "teoría da probabilidade" (probabilidade do evento destaca que nesta ciencia). Esta persoa é moi interesante. El, así como científicos presentados anteriormente son xulgados en forma de fórmulas matemáticas para deducir un estándar de eventos aleatorios. Vale resaltar que non compartilo con Pascal e Fermat, que é todo o seu traballo non se superpón con esas mentes. Huygens derivado os conceptos básicos da teoría da probabilidade.

Un feito interesante é que o seu traballo chegou moito antes de que os resultados dos traballos de pioneiros, para ser exacto, vinte anos antes. Hai só entre os conceptos identificados foron:

• como o concepto de valores de probabilidade casualidade;
• esperanza para o caso concreto;
• teoremas de adición e multiplicación de probabilidades.

Ademais, non se pode esquecer Yakoba Bernulli, que tamén contribuíu ao estudo do problema. A través da súa propia, nin de quen son probas independentes, foi capaz de proporcionar a proba da lei dos grandes números. Pola súa banda, os científicos Poisson e Laplace, que traballou no inicio do século XIX, foron capaces de probar o teorema orixinais. A partir dese momento a analizar erros nas observacións que comezamos a usar a teoría da probabilidade. Partido en torno a esta ciencia non podía e ruso científicos, en vez Markov, Chebyshev e Dyapunov. Eles están baseados no traballo realizado grandes xenios, asegurou o tema como unha rama da matemática. Traballamos estes números ao final do século XIX e, grazas á súa contribución, foron fenómenos comprobada, tales como:

• Lei dos grandes números;
• Teoría de cadeas de Markov;
• O teorema límite central.

Así, a historia do nacemento da ciencia e coas principais personalidades que contribuíron para iso, todo é máis ou menos claro. Agora é hora de carne para fóra todos os feitos.

conceptos básicos

Antes de tocar as leis e teoremas deben aprender os conceptos básicos da teoría da probabilidade. Evento que ocupa un papel dominante. Este tema é moi extensa, pero non será capaz de comprender todo o demais sen el.

Evento na teoría da probabilidade - é Calquera conxunto de resultados do experimento. Conceptos dese fenómeno non é suficiente. Así, Lotman científico que traballa nesta área, expresou que neste caso estamos a falar do que "pasou, aínda que non podía pasar."

eventos aleatorios (teoría da probabilidade presta especial atención a eles) - é un concepto que implica absolutamente ningún fenómeno ter a posibilidade de que se produza. Ou, pola contra, este escenario pode non ocorrer no desempeño dunha variedade de condicións. Tamén paga a pena saber que ocupan todo o volume dos fenómenos que ocorren eventos só aleatorios. teoría da probabilidade suxire que todas as condicións pode repetirse constantemente. É a súa conduta foi chamado de "experiencia" ou "proba".

Feito relevante - este é un fenómeno que é cen por cento neste exame ocorrer. Así, o evento imposible - iso é algo que non acontece.

A combinación de pares de Acción (convencionalmente o caso de A e B caso) é un fenómeno que ocorre ao mesmo tempo. Son referidos como AB.

A cantidade de pares de eventos A e B - C é, por outras palabras, se, polo menos, un deles (A ou B), obtense un C. A fórmula fenómeno descrito é escrito como C = A + B

desenvolvementos incompatibles na teoría da probabilidade implica que os dous casos son mutuamente exclusivas. Á vez son en calquera caso, non pode ocorrer. eventos conxuntos en teoría da probabilidade - é o seu antípoda. A implicación é que, se a acontecer, que non se opón C.

Opóndose ao evento (teoría da probabilidade considera-los en gran detalle), son fáciles de entender. É mellor tratar con eles en comparación. Son case as mesmas desenvolvementos como incompatibles na teoría da probabilidade. Con todo, a súa diferenza é que un dunha pluralidade de fenómenos en calquera caso debe ocorrer.

eventos igualmente probables - estas accións, a posibilidade de repetición é igual. Para deixar claro que podes imaxinar xogar unha moeda: a perda dun dos seus lados é igualmente probable perda doutro.

é máis fácil considerar o exemplo de favorecer o evento. Supoñamos que hai un episodio no episodio A. O primeiro - un rolo dunha fieira coa chegada dun número impar, eo segundo - o aspecto do número cinco sobre os datos. Logo, dedúcese que A é V. favorecida

eventos independentes en teoría de probabilidade están deseñadas só en dúas ou máis ocasións e implica independente de calquera acción do outro. Por exemplo, a - a perda de xogar colas moeda, e B - jack dostavanie da baralla. Teñen eventos independentes en teoría da probabilidade. A partir deste momento quedou claro.

eventos dependentes da teoría da probabilidade tamén se permite só para o seu conxunto. Elas implican dependencia dun sobre o outro, é dicir, o fenómeno pode ocorrer en só no caso de que a xa ocorreu ou, pola contra, non aconteceu cando é - a principal condición para B.

O resultado do experimento aleatorio formado por un único compoñente - é evento primario. teoría da probabilidade di que é un fenómeno que está feito só unha vez.

fórmula básica

Así, o anterior foron considerados o concepto de "teoría da probabilidade" "evento", tamén se deu definicións de termos clave desta ciencia. Agora é hora de familiarizarse coas fórmulas importantes. Estas expresións son matematicamente confirmou todos os conceptos nun asunto tan difícil como a teoría da probabilidade. Probabilidade dun evento e ten un papel enorme.

Mellor comezar coas fórmulas básicas de análise combinatoria. E antes de comezar a eles, paga a pena considerar o que é.

Combinatoria - é esencialmente unha rama da matemática, el foi estudar un gran número de números enteiros, e varias permutacións de ambos os números e os seus elementos, varios datos, etc., levando a unha serie de combinacións ... Ademais da teoría da probabilidade, esta industria é importante para a estatística, ciencia da computación e cifrado.

Entón, agora pode pasar a presentación de si mesmos e as súas fórmulas de definición.

O primeiro destes é a expresión para o número de permutacións, é como segue:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Ecuación aplícase só no caso de que os elementos difiren só na orde de arranxo.

Agora fórmula posta, parece que este considerarase:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Esta expresión é aplicable non só para o único elemento de colocación da orde, pero tamén a súa composición.

A terceira ecuación de combinatoria, e é esta última, chamada a fórmula para o número de combinacións:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Combinación chamado de mostraxe, que non son ordenados, respectivamente, e aplicou esta regra.

Coas fórmulas de combinatoria veu a entender facilmente, agora pode ir á definición clásica de probabilidade. Parece que esta expresión como segue:

P (A) = m: n.

Nesta fórmula, m - representa o número de condicións que conduzan ao evento A, e n - número de eventos de igual forma e completamente todo elementais.

Hai moitas expresións no artigo non serán considerados todo menos afectados serán os máis importantes, como, por exemplo, a probabilidade de eventos equivale:

P (A + B) = P (A) + P (B) - este teorema para a adición de só eventos mutuamente exclusivos;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - pero isto só é para engadir compatible.

A probabilidade das obras do evento:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - este teorema para eventos independentes;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - e deste ao dependente.

Lista rematou de fórmula eventos. A teoría da probabilidade dinos teorema Bayes, que se parece isto:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (a | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (a | H_k)), m = 1, ..., n

Nesta fórmula, H _1, H _2, ..., H _n - é un conxunto completo de hipóteses.

Nesta parada, aplicación mostras fórmulas será agora considerado para tarefas específicas de práctica.

exemplos

Se estudar coidadosamente calquera rama da matemática, non é sen exercicios e solucións de mostra. E a teoría da probabilidade: eventos, exemplos aquí son un compoñente integral de confirmar cálculos científicos.

A fórmula para o número de permutacións

Por exemplo, nun baralla de cartas ten trinta cartas, comezando co nominal. Seguinte pregunta. Cantas maneiras de dobrar a plataforma para que as tarxetas cun valor nominal de un e dous non foron localizados preto?

A tarefa é definida, agora imos pasar para tratar con isto. Primeiro precisa para determinar o número de permutacións de trinta elementos, para este fin que tomamos a fórmula anterior, verifícase se P_30 = 30 !.

Derivada regra, sabemos cantas opcións existen para establecer a cuberta, en moitos aspectos, pero hai que ser deducido a partir deles son aqueles en que o primeiro e segundo cartón será o seguinte. Para iso, comezar cunha variante, cando o primeiro está situado na segunda. Acontece que o primeiro mapa pode levar vinte e nove prazas - desde o primeiro ata o vixésimo noveno, eo segundo cartón a partir do segundo para o media, vira vinte e nove asentos para os pares de cartas. Pola súa banda, os outros poden levar vinteoito lugares, e en calquera orde. É dicir, para o rearranjo dos vinte e oito tarxetas teñen vinteoito opcións P_28 = 28!

O resultado é que se consideramos a decisión, cando a primeira tarxeta é a segunda oportunidade extra para obter 29 ⋅ 28! = 29!

Usando o mesmo método, ten que calcular o número de opcións redundantes para o caso cando a primeira tarxeta está situado baixo o segundo. Tamén obtivo 29 ⋅ 28! = 29!

Disto segue que as opcións extra 2 ⋅ 29 !, Mentres os medios necesarios para recoller a cuberta 30! - 2 ⋅ 29 !. Resta só de calcular.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Agora hai que multiplicar xuntos todos os números 1-29, e logo ao final de todo multiplicado por 28. A resposta obtida 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Exemplos de solucións. A fórmula para o número de aloxamento

Neste problema, ten que descubrir cantos existen formas de poñer os quince volumes nunha andel, pero a condición de só trinta volumes.

Nesta tarefa, a decisión un pouco máis fácil do que o anterior. Usando a fórmula xa coñecida, é necesario calcular o número total de trinta locais quince volumes.

A_30 ^ 15 = 30 29 ⋅ ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30-15 + 1) = 30 29 ⋅ ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ = 202 843 16 204 931 727 360 000

Resposta, respectivamente, será igual a 843 204 931 202 727 360 000.

Agora tome a tarefa un pouco máis difícil. Ten que saber cantos existen formas de organizar os trinta e dous libros nos estantes, coa condición de que só quince volumes poden residir no mesmo andel.

Antes do inicio da decisión quere aclarar que algúns dos problemas poden ser resoltos de varias maneiras, e nesta hai dous xeitos, pero en ambos unha ea mesma fórmula aplícase.

Nesta tarefa, pode que a resposta do anterior, porque non temos calculado o número de veces que pode cubrir a andel por quince libros de diferentes xeitos. Descubriuse se A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30-15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

O segundo rexemento calculado pola fórmula remodelación, porque é colocado quince libros, mentres que o resto de quince. Usan fórmula P_15 = 15 !.

Acontece que a suma vai A_30 ^ 15 ⋅ P_15 formas, pero, ademais, o produto de todos os números de 30-16 sería multiplicado polo produto dos números dun a quince anos, a finais acaban polo produto de todos os números de un a trinta, que é a resposta é 30!

Pero este problema pode ser resolto de forma diferente - máis fácil. Para iso, podes imaxinar que hai unha andel para trinta libros. Todos eles están situados neste plan, senón porque a condición require que había dúas baldas, un tempo que serra polo medio, dúas voltas quince. Deste dedúcese que a este arranxo pode ser P_30 = 30 !.

Exemplos de solucións. A fórmula para o número de combinacións de

Quen é considerado unha variante do terceiro problema de combinatoria. Ten que saber cantas formas existen para organizar quince libros sobre a condición de que ten que escoller trinta exactamente o mesmo.

Para a decisión pode, por suposto, aplicar a fórmula para o número de combinacións. A partir da condición que tórnase claro que a orde dos mesmos quince libros non é importante. Así, inicialmente, ten que descubrir o número total de combinacións de trinta quince libros.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Isto é todo. Utilizando esta fórmula, no menor tempo posible para resolver un tal problema, a resposta, respectivamente, igual a 155.117.520.

Exemplos de solucións. A definición clásica de probabilidade

Usando a fórmula dada anteriormente, pódese encontrar unha resposta nunha tarefa sinxela. Pero vai ver claramente e seguir o curso da acción.

A tarefa xa que nunha urna hai dez bólas totalmente idénticas. Destes, catro amarelas e seis azul. Tomado da urna unha bola. Cómpre saber a probabilidade dostavaniya azul.

Para resolver o problema, cómpre designar dostavanie evento bola azul A. Esta experiencia pode dez resultados, que, á súa vez, fundamental e igualmente probables. Ao mesmo tempo, seis dos dez son favorables para o evento A. Resolver a seguinte fórmula:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Aplicando esta fórmula, aprendemos que a posibilidade dostavaniya balón azul é de 0,6.

Exemplos de solucións. A probabilidade de cantidade eventos

Quen vai ser unha variante que está resolto mediante a fórmula da probabilidade de cantidade eventos. Así, dada a condición de que hai dous casos, o primeiro é gris e cinco bolas brancas, mentres que o segundo - oito gris e catro bolas brancas. Como resultado, a primeira e segunda caixas asumiron un deles. Cómpre descubrir cales son as posibilidades de que carecían as bolas son gris e negro.

Para solucionar este problema, cómpre identificar o evento.

• Así, a - que ten unha gray ball da primeira caixa de: P (A) = 1/6.
• Un '- lámpada branca tamén feita a partir da primeira caixa de: P (A') = 5/6.
• A - Gray ball xa extraída da segunda conduta: P (B) = 03/02.
• B '- toma unha gray ball da segunda gaveta: P (B') = 1/3.

Segundo o problema, é necesario que un dos fenómenos pasou: AB 'ou' B. Usando a fórmula, obtense: P (AB ') = 18/01, P (A'B) = 10/18.

Agora foi utilizada a fórmula da multiplicación da probabilidade. A continuación, para descubrir a resposta, ten que aplicar a súa ecuación engadindo:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

É así que, a través da fórmula, pode resolver tales problemas.

resultado

O traballo foi presentado a información en "teoría da probabilidade", a probabilidade de eventos que desempeñan un papel importante. Por suposto, non todo foi considerada, pero con base no texto presentado, pode teoricamente familiarizado con este sector da matemática. ciencia considerada pode ser útil non só na empresa profesional, senón tamén na vida cotiá. Pode usalo para calcular calquera posibilidade dun evento.

O texto tamén foi afectada por datas significativas na historia do desenvolvemento da teoría da probabilidade como unha ciencia, e os nomes das persoas cuxas obras foron poñer nel. É así que a curiosidade humana levou ao feito de que a xente aprenderon a contar, incluso eventos aleatorios. Xa que son só interesado niso, pero hoxe xa é coñecido de todos. E ninguén pode dicir o que vai ocorrer coa xente no futuro, o que as outras brillantes descubrimentos relacionados coa teoría en cuestión, sería cometer. Pero unha cousa é certa - o estudo non paga a pena!