Georg Cantor: a teoría dos conxuntos, biografía e matemáticas familia

Georg Cantor (foto mostra ao final do artigo) - matemático alemán que desenvolveu a teoría dos conxuntos e introduciu o concepto de números transfinitos, infinitamente grande, pero diferentes unhas das outras. Tamén deu unha definición de números ordinais e cardinais e estableceu a súa aritmética.

Georg Cantor: unha breve biografía

Nado en San Petersburgo 1845/03/03. O seu pai era un danés protestante Georg Waldemar Cantante, estaba implicado no comercio, en Vol. H. E na bolsa de valores. A súa nai, María, ben era católico e veu dunha familia de músicos destacados. Cando en 1856 o seu pai George ficou doente, a familia en busca dun clima máis ameno mudei para Wiesbaden, a continuación, para Frankfurt. talento matemático, o neno aparece antes do seu aniversario de 15 anos, mentres estudaba en escolas particulares e escolas públicas en Darmstadt e Wiesbaden. Ao final, Georg Cantor convenceu o pai na súa determinación de facer un matemático, en vez de un enxeñeiro.

Despois dun breve adestramento na Universidade de Zúric en 1863 Cantor foi trasladado para a Universidade de Berlín para estudar física, filosofía e matemáticas. Alí foi ensinado:

• Karl Theodor Weierstrass, cuxa especialidade na análise, probablemente tivo a maior influencia sobre George;
• Ernst Kummer, que ensinou a maior aritmética;
• Leopold Kronecker, en número especialista en teoría, que máis tarde se opuxo Cantor.

Pasando un semestre na Universidade de Göttingen en 1866, o ano que George escribiu a súa tese de doutoramento, baixo o título "En matemática, a arte de facer preguntas é máis valioso do que a resolución de problemas" en relación ao problema que Carl Friedrich Gauss quedaron sen resolver na súa Disquisitiones Arithmeticae (1801) . Despois de ensinar brevemente na Escola de Berlín para nenas Kantor comezou a traballar na Universidade de Halle, onde permaneceu ata o final da súa vida, primeiro como profesor, desde 1872 como profesor asistente, e desde 1879 a primeira como profesor.

busca

No inicio dunha serie de 10 obras de 1869 a 1873, Georg Cantor considerada a teoría dos números. O traballo reflicte a paixón polo tema do seu estudo eo efecto de Gauss Kronecker. Por suxestión de Heinrich Eduard Heine, compañeiros de Cantor en Halle, que recoñeceu o seu talento matemático, se volveu para a teoría da serie trigonométrica, que ampliou o concepto de números reais.

Con base na función de traballo dunha variable complexa do matemático alemán Bernhard Riemann en 1854, en 1870 Cantor mostrou que tal función pode ser representada en só un xeito - por series trigonométricas. Análise do conxunto de números (puntos), que non estaría en contradición con esta visión, levouno, en primeiro lugar, en 1872, coa definición dos números irracionais en termos de secuencias converxentes de números racionais (fraccións de enteiros) e, a continuación, para o inicio dos traballos na obra da súa vida, Set teoría eo concepto de números transfinitos.

teoría de conxuntos

Georg Cantor, a teoría que define orixinou en correspondencia co Instituto Técnico de Braunschweig matemático Richard Dedekind, foi amigos con el desde a infancia. Eles concluíron que os conxuntos, finito ou infinito, están unha pluralidade de elementos (por exemplo, números {0, ± 1, ± 2 ...}) que posúen unha determinada propiedade, aínda que mantendo a súa individualidade. Pero cando Georg Cantor aplicado para estudar as súas características dunha correspondencia (por exemplo, {A, B, C} a {1, 2, 3}), el rapidamente entender que eles difiren no seu grao de control, aínda que fose conxuntos infinitos , t. e. conxunto anaco ou un subconxunto dos cales inclúe o mesmo número de obxectos, xa que é por si só. O seu método pronto deu resultados sorprendentes.

En 1873, Georg Cantor (matemático) mostraron que un número racional, aínda infinito, son contables, porque poden ser feitas en correspondencia dun-para-un con naturais (isto é. E. 1, 2, 3,. D.). Mostrou que o conxunto dos números reais constituídos por un infinito racional e irracional, e incontável. Que paradoxo, Cantor probou que o conxunto de todos os números Números contén tantos elementos como o conxunto de todos os enteiros, e que os números transcendentais que non son alxébrica, que son un subconxunto dos números irracionais e incontável e, polo tanto, o seu número é maior que os números enteiros e debe ser considerado como infinito.

Os opositores e partidarios

Pero o traballo Cantante, no que presentou por primeira vez os resultados, non se publicou na revista "Krell" como un dos revisores, Kronecker foi contrario. Pero, despois da intervención do Dedekind foi publicado en 1874 baixo o título "As características de todos os números Números reais."

Ciencia e vida persoal

O mesmo ano, durante a lúa de mel coa súa esposa, Valli Gutman en Interlaken, Suiza, Cantante coñeceu Dedekind que xentilmente comentou sobre a súa nova teoría. George salario era pequeno, pero co diñeiro do seu pai, que morreu en 1863, tiña construído para a súa esposa e cinco fillos na casa. Moitos dos seus traballos foron publicados en Suecia no novo revista Acta Mathematica, o editor e fundador do que era Gösta Mittag-Leffler, un dos primeiros en recoñecer o talento do matemático alemán.

A comunicación coa metafísica

Teoría Cantor foi completamente novo obxecto de investigación sobre o infinito matemáticas (por exemplo, a secuencia de 1, 2, 3,. D., e define máis complexas), que é en gran parte dependente de correspondencia dun-para-un. Cantante Desenvolvemento de novos métodos para definir cuestións relativas á continuidade e infinito prestou os seus estudos mesturado.

Cando argumentou que un número infinito realmente existe, el virou-se para a filosofía antiga e medieval con relación ao infinito real e potencial, así como a educación relixiosa precoz, o que os pais lle deron. En 1883, no seu libro "Fundamentos da teoría xeral dos conxuntos" Kantor combinou o seu concepto da metafísica de Platón.

Kronecker tamén, que afirmou que "non son" só números enteiros ( "Deus creou os enteiros, o resto - o traballo do home"), por moitos anos rexeitou fortemente os seus argumentos e impediu o seu nomeamento para a Universidade de Berlín.

números transfinitos

En 1895-1897 gg. Georg Cantor totalmente formado a súa idea de continuidade e infinito, incluíndo unha secuencia de números e cardeais interminables, na súa obra máis famosa, publicado baixo o título "Contribución á teoría dos números transfinitos" (1915). Este traballo inclúe o seu deseño, á que levou unha demostración de que un conxunto infinito pode ser entregado nunha correspondencia dun-para-un con un dos seus subconxuntos.

O número cardinal transfinito menor que quería dicir o poder de calquera conxunto, que poden estar situados en correspondencia un a un cos números naturais. Kantor describir o seu Aleph-cero. Gran pluralidade transfinito Alef-designado un, dous ou Aleph-t. D. É desenvolvido ordinais aritméticos, o que foi semellante á aritmética finito. Así, el enriqueceu o concepto de infinito.

A oposición que enfrontou, eo tempo que levou para garantir que as súas ideas foron totalmente aceptado, explicou as complexidades da re-avaliación da antiga cuestión sobre o que é o número. Kantor amosa que un conxunto de puntos sobre a liña ten unha capacidade maior que Aleph-cero. Isto levou ao problema ben coñecido da hipótese do continuo - hai cardeais entre Aleph-cero e hai puntos de enerxía en liña. Este problema na primeira e segunda metade do século 20 é de gran interese e foi estudado por moitos matemáticos, en Vol. H. Kurt Gödel e Paul Cohen.

depresión

Biografía Georga Kantora 1884 foi marcado por súa enfermidade mental incipiente, pero el continuou a traballar activamente. En 1897, el axudou a realizar o primeiro Congreso Internacional de Matemáticos, en Suiza. En parte porque se opuxo á Kronecker, moitas veces el simpatizaba cos mozos matemáticos de brotamento e intentou atopar unha forma de garda-los do acoso por profesores que se senten ameazados por novas ideas.

recoñecemento

Na virada do século a súa obra foi integramente recoñecido como base para a teoría das funcións, análise e topoloxía. Ademais, Kantora Georga libro serviu como un impulso para o desenvolvemento da escola formalista e intuitionist de fundamentos lóxicos da matemática. Isto cambiou significativamente o sistema de ensino e é frecuentemente asociada coa "nova matemáticas".

En 1911, Cantor estaba entre os invitados á celebración dos 500 anos da Universidade de St Andrews, en Escocia. Foi alí coa esperanza de atopar Bertrand Russell, que no seu traballo recentemente publicado Principia Mathematica repetidamente citado o matemático alemán, pero iso non aconteceu. Universitaria Cantante un grao honorario, pero debido a enfermidade era incapaz de aceptar o premio en persoa.

Cantante se aposentou en 1913 e viviu na pobreza e fame durante a Primeira Guerra Mundial. Festas na honra do seu 70º aniversario en 1915 foron cancelados debido á guerra, pero unha pequena cerimonia foi realizada na súa casa. Morreu en 1918/01/06, en Galle, nun hospital psiquiátrico, onde pasou os últimos anos da súa vida.

Georg Cantor: A Biography. familia

09 de agosto de 1874, o matemático alemán casado Valli Gutman. A parella tivo 4 fillos e 2 fillas. O último fillo naceu en 1886 en Cantor mercou unha nova casa. Soster a familia axudou o legado do seu pai. A saúde de Cantor afectou moito a morte do seu fillo máis novo en 1899 - xa que nunca deixou a depresión.