Números irracionais: o que é eo que son usados?

¿Que é un número irracional? Por que son chamados? Onde son usados e que constitúe? Poucos poden sen dúbida para responder a estas preguntas. Pero, en realidade, as respostas son moi sinxelo, aínda que non todos son necesarios e en situacións moi raras,

A esencia e designación

números irracionais son infinitas non periódicas decimais. A necesidade de introducir este concepto transcorre do feito de que, a fin de dirección novo emerxente retos foi insuficiente previamente existentes conceptos de verdadeiro ou real, enteiro, natural e racional números. Por exemplo, a fin de calcular un valor cadrado é 2, é necesario utilizar unha fracción decimal infinita non periódica. Ademais, moitas ecuacións tamén teñen solución sen a introdución do concepto de números irracionais.

Este conxunto especifícase como I. E, como quedou claro, estes valores poden non ser representado como unha simple fracción cuxo numerador é o todo, eo denominador - natural número.

Por primeira vez, dunha forma ou doutra con este fenómeno enfrontado matemáticos indios no século VII aC, cando se descubriu que as raíces cadradas de determinadas cantidades poden non ser identificado claramente. A primeira proba da existencia de tales números é imputado Pitágoras Hippasus, que o fixo no estudo dun triángulo isósceles. A contribución seria para o estudo deste conxunto trouxeron mesmo algúns científicos que viviron antes de Cristo. A introdución do concepto de números irracionais levou a unha revisión do sistema matemático existente, que é por iso que son tan importantes.

Orixe do nome

A relación en latín - é "shot", "actitude", o prefixo "ir"
anexado á palabra contrario. Así, o nome do conxunto destes números indica que non pode ser correlacionada cun completo ou fracionário, ter un asento. Iso decorre da súa natureza.

Lugar na clasificación xeral

números irracionais, xunto con racional refírese a un grupo de real ou virtual, que á súa vez pertence ao complexo. Subconxuntos non, con todo, distinguir entre alxébrica e transcendente tipo, que será discutido a continuación.

propiedades

Porque os números irracionais - é parte dun conxunto de bens, a continuación, aplicar-lles todas as súas propiedades, que son estudados na aritmética (tamén chamado de leis básicas alxébricas).

a + b = b + a (commutativity);

(A + B) + c = a + (b + c) (associativity);

A 0 = a;

A (-a) = 0 (a existencia aditivo inversa);

AB = BA (Lei conmutativo);

(AB) C = a (bc) (distribuitivamente);

un (b + c) = ab + AC (Lei distributiva);

Machado 1 = a

Machado 1 / a = 1 (o número inverso de existencia);

Comparación tamén está feita de acordo coas leis e os principios xerais:

A> b e b> C, a continuación, a> C (raz transitivity) e. t. d.

Por suposto, todos os números irracionais poden ser convertidos a usar as operacións aritméticas básicas. Calquera regras particulares para o.

Ademais, os números irracionais cuberta polo axioma de Arquímedes. Afirma que a calquera dous valores de a e b é certo que, ao tomar un termo como un número suficiente de veces, é posible gañar b.

o uso de

A pesar do feito de que na vida real non adoitan ter que tratar con eles, números irracionais non dan conta. Son un gran moitos, pero son practicamente invisibles. Estamos rodeados polos números irracionais. Exemplos, familiar a todos, - o número pi, igual a 3.1415926 ... ou un e, é esencialmente unha base de logaritmos naturais, 2,718281828 ... En álxebra, trigonometría e xeometría ten que usalos constantemente. A propósito, o valor coñecido do "sección de ouro", isto é, a razón entre a cantidade do alto para abaixo e viceversa, e Refírese a este conxunto. Menos coñecido "prata" - tamén.

Na liña de número, están moi preto, de xeito que entre calquera dúas cantidades, cubertas por un conxunto de racional e irracional ocorrer necesariamente.

Ata o momento, hai unha serie de cuestións non resoltas relacionadas con este conxunto. Non hai criterios tales como a irracionalidade da medida ea normalidade do número. Matemáticos continuar a explotar os exemplos máis significativos para a súa pertenza a un grupo ou outro. Por exemplo, suponse que e - número normal, é dicir, a probabilidade de ocorrencia na súa gravación de diferentes figuras son as mesmas ... Como pi, logo a súa relativamente longa baixo investigación. Unha medida da irracionalidade se chama o valor de mostrar o quão ben un determinado número pode ser aproximada por números racionais.

Alxébrica e transcendente

Como xa se mencionou, números irracionais condicional dividido en alxébrica e transcendente. Convencionalmente, porque, falando estritamente, a clasificación é utilizada para dividir a pluralidade C.

Baixo esta denominación oculta os números complexos, que inclúen o real ou real.

Entón alxébrica chamada de valor, que é a raíz do polinomio non é identicamente cero. Por exemplo, a raíz cadrada de 2 ha se enmarcan nesta categoría, xa que é unha solución da ecuación x ² - 2 = 0.

Todos os outros números reais que non cumpren esta condición son chamados transcendental. Esta especie e son os máis coñecidos e xa mencionados exemplos - o número do pi eo logaritmo natural de base e.

Curiosamente, nin un nin o segundo foron orixinalmente creados por matemáticos como tales, a súa irracionalidade e transcendencia foi comprobada por moitos anos despois da súa descuberta. Para pi proba recibiu en 1882 e simplificado en 1894, que puxo fin ao debate sobre o problema da cuadratura do círculo, que durou de 2500 anos. Aínda non é totalmente comprendido, de xeito que os matemáticos modernos teñen traballo a facer. By the way, o primeiro razoablemente preciso cálculo deste valor Estiveches Arquímedes. Antes del, todos os cálculos eran moi aproximados.

Por e (número de Euler, é Napier), proba da súa transcendencia se atopou en 1873. El é usado na resolución de ecuacións logarítmicas.

Entre outros exemplos - a valores de seno, coseno e tanxente a calquera valores diferentes de cero alxébricas.