Polígono convexo. Definición dun polígono convexo. As diagonais dun polígono convexo

Estas formas xeométricas están ó redor. polígono convexo son naturais, como un favo de mel ou artificial (sintético). Estes valores son utilizados na produción de distintos tipos de revestimentos na arte, arquitectura, adornos, etc. polígono convexo ten a propiedade de que os seus puntos están sobre un dos lados dunha liña recta que pasa a través do par de vértices adxacentes da figura xeométrica. Hai outras opcións. Chámase o polígono convexo, o cal está disposto nunha única semi-plano en relación a calquera liña recta que contén un dos seus lados.

polígono convexo

No curso de xeometría elemental sempre tratados polígonos moi sinxelo. Para comprender as propiedades de formas xeométricas que cómpre entender a súa natureza. Para comezar a entender que pechado é calquera liña cuxas extremidades son os mesmos. E a figura formada por el, pode ter unha variedade de opcións. Polígono chámase polígono pechado simple cuxas unidades adxacentes non están situados sobre unha liña recta. As súas conexións e nós son, respectivamente, os dous lados e tops da figura xeométrica. A polilinha simple non debe cruzar-se.

vértices do polígono son chamados veciños, no caso de seren os extremos dun dos seus lados. A figura xeométrica, que ten un número n de vértices, e, polo tanto, o número de orde n de partes chamado o gon-n. Propia liña a trazos representa a fronteira ou contorno da figura xeométrica. plan poligonal ou polígono plana chamada a parte final de calquera plan, a súa limitada. lados adxacentes da figura xeométrica chamados segmentos poligonais procedentes do mesmo vértice. Non serán veciños se eles están baseados en diferentes vértices do polígono.

Outras definicións de polígonos convexos

En xeometría elemental, hai varios equivalente Configuración significado, indicando o que se chama un polígono convexo. Ademais, todas estas afirmacións son igualmente verdadeiras. Un polígono convexo é a única que ten:

• cada segmento que une dous puntos calquera no seu interior, encóntrase totalmente nel;

• nel atópanse todas as diagonais;

• calquera ángulo interior non é maior que 180 °.

Polygon sempre divide o plano en dúas partes. Un deles - o limitado (pode ser pechado nun círculo), e os outros - ilimitado. A primeira é chamada a zona interior, ea segunda - a superficie exterior da figura xeométrica. Esta é a intersección do polígono (noutras palabras - o compoñente total) varias medias-avións. Así, cada segmento tendo extremos en puntos que pertencen a un polígono pertence totalmente a el.

Variedades de polígonos convexos

Definición polígono convexo non indica que hai moitos tipos de los. E cada un deles ten determinados criterios. Así, os polígonos convexos, que teñen un ángulo interno de 180 °, que se refire a algo convexa. A figura xeométrica convexa que ten tres picos, é chamado un triángulo, catro - cuadrilátero, cinco - pentágono, etc. Cada un dos convexa n-gons cumpre os seguintes requisitos importantes: .. n debe ser igual ou superior a 3. Cada un dos triángulos é convexa. A figura xeométrica deste tipo no que todos os vértices están situados nun círculo, o chamado círculo inscrito. polígono convexo descrito chámase se todos os seus lados en torno a un círculo para tocala. Dous polígonos chámanse igual só no caso cando se utiliza o solape poden ser combinados. polígono plano chamado plan poligonal (un treito plano) que esta figura xeométrica limitada.

polígono convexo regular

polígonos regulares chamado formas xeométricas con ángulos e lados iguais. Dentro deles hai un punto 0, que é a mesma distancia de cada un dos seus vértices. El é chamado o centro da figura xeométrica. Liñas de conexión do centro cos vértices da figura xeométrica chamada apótema, e os que conectan o punto 0 coas partes - raios.

rectángulo correcta - cadrado. triángulo equilátero chámase equilátero. Para tales formas hai a seguinte regra: cada ángulo polígono convexo é de 180 ° * (n-2) / n,

en que n - número de vértices da figura xeométrica convexa.

A área de calquera polígono regular é determinada pola fórmula:

S = P * h,

en que p é igual a metade da suma de todas as partes do polígono, e h é a apótema lonxitude.

Propiedades polígono convexo

polígonos convexos teñen certas propiedades. Así, o segmento que une os dous puntos dunha figura xeométrica, necesariamente situado na mesma. proba:

Supóñase que P - o polígono convexo. Tomé dous puntos arbitrarios, por exemplo, A e B, que pertencen ao P. Pola definición actual dun polígono convexo, eses puntos están situados nun lado da liña recta que contén calquera dirección R. En consecuencia, AB tamén ten esa propiedade e está contido en R. Un polígono convexo sempre pode ser dividido en varios triángulos absolutamente todas as diagonais, que realizou un dos seus vértices.

Ángulos de formas xeométricas convexas

Os ángulos dun polígono convexo - son ángulos que forman as partes. cantos internos están na área no interior da figura xeométrica. O ángulo que está formado polas laterais, que converxen nun vértice, o chamado ángulo do polígono convexo. Cantos adxacentes aos cantos internos da figura xeométrica, chamado externo. Cada canto dun polígono convexo, dispostos no seu interior, é a seguinte:

180 ° - x

onde x - valor fóra canto. Esta fórmula simple é aplicable a calquera tipo de formas xeométricas tales.

En xeral, para cantos exteriores hai seguinte regra: cada ángulo polígono convexo igual á diferenza entre 180 ° C e o valor do ángulo interno. Pode ter valores que varían de -180 ° a 180 °. En consecuencia, cando o ángulo interno é de 120 °, o aspecto terá un valor de 60 °.

A suma dos ángulos de polígonos convexos

A suma dos ángulos internos dun polígono convexo establécese pola fórmula:

180 ° * (n-2),

en que n - número de vértices do n-gon.

A suma dos ángulos dun polígono convexo calcúlase simplemente. Considero calquera forma xeométrica. Para determinar a suma dos ángulos dun polígono convexo ten conectar un dos seus vértices a outros vértices. Como resultado desta acción xira (n-2) do triángulo. Sábese que a suma dos ángulos de calquera triángulo é sempre 180 °. Xa que o seu número en calquera polígono é igual a (n-2), a suma dos ángulos interiores da figura é igual a 180 ° x (n-2).

Cantidade cantos poligonais convexas, é dicir, os dous ángulos internos e externos adxacentes a eles, nesta figura xeométrica convexa será sempre igual a 180 °. Nesta base, podemos determinar a suma de todos os seus recunchos:

180 x n.

A suma dos ángulos internos é de 180 ° * (n-2). Por conseguinte, a suma de todos os recunchos exterior da figura definida pola fórmula:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Suma dos ángulos externos de calquera polígono convexo será sempre igual a 360 ° (independentemente do número dos seus lados).

canto exterior dun polígono convexo son xeralmente representada pola diferenza entre 180 ° eo valor do ángulo interno.

Outras propiedades dun polígono convexo

Ademais das propiedades básicas de datos figuras xeométricas, eles tamén teñen outra, que se producen durante o manipular. Así, calquera dos polígonos pode ser dividida en múltiples convexa n-gons. Para iso, seguir cada un dos seus lados e cortadas a forma xeométrica ao longo destas liñas rectas. Dividir calquera polígono en varias partes convexas é posible e para que o inicio de cada unha das pezas coincidir con todos os seus vértices. A partir dunha figura xeométrica pode ser moi sinxelo de facer triángulos través de todas as diagonais dun vértice. Así, calquera polígono, en definitiva, pode ser dividido en un número de triángulos, o que é moi útil na resolución de varias tarefas relacionadas con tales formas xeométricas.

O perímetro do polígono convexo

Os segmentos da polilinha, partidos chamados polígonos, moitas veces indicado coas seguintes letras: AB, BC, CD, de, ea. Este lado dunha figura xeométrica con vértices a, b, c, d, e. A suma das lonxitudes dos lados dun polígono convexo chámase o seu perímetro.

A circunferencia do polígono

polígonos convexos poden ser inseridos e descrito. Círculo tanxente a todos os lados da figura xeométrica, o chamado inscrito nel. Este polígono chámase descrito. O círculo central que está inscrita no polígono é un punto de intersección das bissectrizes dos ángulos dentro dunha determinada forma xeométrica. A área do polígono é igual a:

S = p * r,

onde R - o raio do círculo inscrito, e p - semiperimeter este polígono.

Un círculo que contén os vértices do polígono, chamado descrito preto del. Ademais, esta figura xeométrica convexa chamada inscrito. O centro de círculo, o cal se describe sobre un tal polígono é un chamado punto de intersección midperpendiculars todos os lados.

formas xeométricas convexas diagonais

As diagonais dun polígono convexo - un segmento que non conecta vértices veciña. Cada un deles está dentro desta figura xeométrica. O número de diagonais a defínese segundo a fórmula gon n-:

N = N (N - 3) / 2.

O número de diagonais dun polígono convexo ten un papel importante na xeometría elemental. O número de triángulos (K), o que pode romper cada polígono convexo, calculada pola seguinte fórmula:

K = N - 2.

O número de diagonais dun polígono convexo é sempre dependente do número de vértices.

Partición dun polígono convexo

Nalgúns casos, para resolver tarefas de xeometría necesarias para romper un polígono convexo en varios triángulos con tirantes non intersección. Este problema pode ser resolto a través da eliminación dunha determinada fórmula.

Definindo o problema: chamar tipo certo de partición dun convexo n-gon en varios triángulos por tirantes que se cruzan-se só cos vértices dunha figura xeométrica.

Solución: Supoña que P1, P2, P3, ..., PN - o principio da N-gon. Número Xn - o número de súas particións. considerar coidadosamente o que resulta figura xeométrica diagonal Pi PN. En calquera das particións regulares P1 PN pertence a un determinado triángulo P1 Pi PN, en que 1

Sexa i = 2 é un grupo de particións regulares, sempre que contén diagonal P2 PN. O número de particións que se inclúen nel, igual ao número de particións (n-1) Gon P2 P3 P4 ... PN. Noutras palabras, é igual a Xn-1.

Se i = 3, a continuación, os outros particións grupo conterá sempre unha diagonal P3 P1 e P3 PN. O número de particións correctas que están contidos no grupo, vai coincidir co número de particións (n-2) Gon P3, P4 ... PN. Noutras palabras, se Xn-2.

Sexa i = 4, a continuación, os triángulos a partición entre correcta está obrigado a ter un triángulo P1 PN P4, que son adxacentes ao cuadrilátero P1 P2 P3 P4, (n-3) Gon P5 P4 ... PN. O número de tabiques corrección tal cuadrilátero é igual a X4, eo número de tabiques (n-3) é igual a-gon Xn-3. Con base no exposto, podemos dicir que o número total de particións regulares que están contidos nese grupo é igual a Xn-3 X4. Outros grupos, en que i = 4, 5, 6, 7 ... conterá 4 Xn-X5, Xn-5 X6, Xn-6 ... x7 particións regulares.

Sexa i = n-2, o número de tabiques corrección dun dato grupo coincide co número de tabiques en grupo, en que i = 2 (noutras palabras, é igual a Xn-1).

Desde X1 = X2 = 0, X3 = 1 e X4 = 2, ..., o número de particións de polígono convexo é:

Xn = xn-1 + xn-2 + xn-3, xn-X4 X5 + + 4 + ... + X 5 4-XN xn-X 4 + 3 + 2 xn-XN-1.

exemplo:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 X5 + + + X4 X5 = 14

X7 + X5 = X6 X4 + * + X4 X5 X6 + = 42

X7 = X8 + X6 + X5 X4 * + * X4 X5 X6 + + x7 = 132

O número de particións correctas intersección dentro dunha diagonal

Ao comprobar casos individuais, pódese supor que o número de diagonais convexa n-gon é igual ao produto de todas as particións de este gráfico por omisión (n-3).

A proba desta suposición: supoñer que P1n = Xn * (n-3), a continuación, calquera n-gon pode ser dividido en (n-2) é un triángulo. Neste caso, un deles pode ser empilhado (n-3) -chetyrehugolnik. Ao mesmo tempo, cada un cuadrilátero é diagonal. Xa que esta figura xeométrica convexa dúas diagonais pode ser levada a cabo, o que significa que en calquera (n-3) pode conducir -chetyrehugolnikah adicional diagonal (n-3). Nesta base, podemos concluír que a calquera partición axeitada ten unha oportunidade de (n-3) reunión -diagonali os requisitos desta tarefa.

Área de polígono convexo

Moitas veces, na resolución de varios problemas de xeometría elemental existe unha necesidade para determinar a área dun polígono convexo. Asúmese que (XI. Yi), i = 1,2,3, ... n representa unha secuencia de coordenadas de todos os vértices veciños do polígono, tendo sen auto-interseccións. Neste caso, a súa área é calculada pola seguinte fórmula:

_{S = ½ (Σ (X i} + i + X ₁₎ (Y _I Y _i + _1)),

en que (x _1, Y _{1) = (X n 1, Y} n + _1).