Poliedros regulares: Elementos simetría e área

Xeometría é fermosa porque, a diferenza de álxebra, que non sempre é claro o por que eo que pensa, dá un obxecto visual. Este mundo marabilloso de varios órganos adornar o poliedros regulares.

Información xeral sobre poliedros regulares

Segundo moitos, poliedros regulares, ou como son chamados sólidos platónicos, posúen propiedades únicas. Con eses obxectos ligados varias hipóteses científicas. Cando comeza a estudar os datos xeométricos do corpo, entender que case non sabe nada sobre tal concepto como o poliedros regulares. A presentación destes obxectos na escola non sempre é interesante para moitos nin sequera recordar o que eles foron chamados. Na memoria da maioría da xente é só un cubo. Ningún dos xeometría do corpo non posúe tal perfección como poliedros regulares. Todos os nomes deses corpos xeométricos orixinou da Grecia antiga. Representan o número de caras: o tetraedro - de catro lados, hexaedro - Allen, octaedro - Octagon, dodecaedro - dodecahedral, icosaedro - icosahedral. Todos estes corpo xeométrica ocupa un lugar importante no deseño do universo de Platón. - O lume, o icosaedro - cubo de auga - terra, octaedro - aire o tetraedro: catro deles son elementos ou entidades encarnada. Dodecaedro encarna todas as cousas. Foi considerado o principal, como un símbolo do universo.

A xeneralización do concepto dun poliedro

Poliedro é un conxunto finito de polígonos de tal forma que:

• cada un dos lados de calquera dos polígonos é á vez un e só un lado doutro polígono no mesmo lado;
• de cada un dos polígonos pode andar a outro, pasando adxacente aos mesmos polígonos.

Polígonos que constitúen o poliedro representar os seus rostros e as súas laterais - costelas. vértices poliedros son os vértices de polígonos. O termo polígono entender polilinhas pechadas planas, a continuación, veñen a unha definición dun poliedro. No caso de que por este termo entende-se unha parte do plan que é delimitada por liñas a trazos, será entendido que consiste superficie de pezas poligonais. poliedro convexo é chamada o corpo deitado sobre unha banda do plan, adxacente ás súas caras.

Outra definición dun poliedro e os seus elementos

Poliedro chamado superficie consistindo polígonos, que limita o corpo xeométrico. Son eles:

• non convexo;
• convexo (certo e mal).

poliedro regular - é un poliedro convexo con simetría máxima. Elementos de poliedros regulares:

• Tetrahedron: 6 nervios 4 caras 5 vértices;
• hexaedro (cubo) 12, 6, 8,
• dodecaedro 30, 12, 20;
• octaedro 12, 8, 6;
• icosaedro 30, 20, 12.

Teorema de Euler

El establece unha relación entre o número de arestas, vértices e caras son topoloxía equivalente a unha esfera. Ao aumentar o número de vértices e caras (B + D) teñen poliedros regulares diferente e comparando-os co número de nervios, é posible definir unha regra: a suma do número de caras iguais ao número de vértices e os bordos (P) aumentaron 2. Pode derivar unha fórmula sinxela:

• B + D = P 2.

Esta fórmula é válida para todos os poliedros convexos.

definicións básicas

O concepto dun poliedro regular é imposible describir nunha frase. É máis valorados e volume. Un corpo para ser recoñecido como tal, é necesario que cumpre unha serie de axustes. Así, un corpo xeométrica será un poliedro regular cando estas condicións sexan atendidas:

• é convexa;
• o mesmo número de nervios converxe en cada un dos seus vértices;
• todas as facetas das súas - polígonos regulares, iguais un ó outro;
• Todos os ángulos diedros son iguais.

Propiedades de poliedros regulares

Existen 5 tipos de poliedros regulares:

1. Cubo (hexaedro) - que ten un ángulo de vértice plana é de 90 °. Ten un ángulo de tres lados. cara cantidade ángulos no vértice de 270 °.
2. Tetrahedron - ángulo de vértice plan de - 60 °. Ten un ángulo de tres lados. Valor nominal ángulos no ápice - 180 °.
3. Octaedro - ángulo de vértice plan de - 60 °. Ten un ángulo de catro lados. Valor nominal ángulos no ápice - 240 °.
4. Dodecaedro - un ángulo de vértice plan de 108 °. Ten un ángulo de tres lados. cara cantidade ángulos no vértice - 324 °.
5. Icosaedro - que ten un ángulo de vértice plan de - 60 °. Ten un ángulo de cinco lados. cara cantidade ángulos no vértice de 300 °.

A área de poliedros regulares

A área de superficie dos corpos xeométricos (S) calcúlase como unha área de polígono regular, multiplicado polo número de facetas (G):

• S = (R: 2) x 2G CTG π / p.

O volume dun poliedro regular

Este valor é calculado multiplicando o volume dunha pirámide regular, cuxa base é un polígono regular, o número de caras, ea súa altura é o raio da esfera inscrito (R):

• V = 1: 3RS.

Volumes de poliedros regulares

Como outros sólidos, poliedros regulares xeométricas teñen diferentes volumes. Abaixo amósanse as fórmulas polas que poden calcular:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• octaedro: α x 3√2: 3;
• icosaedro; α x 3;
• hexaedro (cubo): a- x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecaedro: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elementos de poliedros regulares

Hexaedro e octaedro son corpos xeométricos dobre. Noutras palabras, poden estar fóra de si en caso de que o baricentro dun é tida como a parte superior do outro, e viceversa. Tamén están dobre icosaedro e dodecaedro. -Se única tetraedro é dobre. Segundo o método de Euclides pode ser obtida a partir dun hexaedro dodecaedro a través da construción de "tellados" nas caras do cubo. Os vértices do tetraedro son os 4 vértices do cubo, e non pares adxacentes ao longo da extrema. De hexaedro (cubo) pode ser obtido, e outros poliedros regulares. A pesar do feito de polígonos regulares existen moitas poliedros, regular, hai só 5.

Os raios de polígonos regulares

Con cada un destes corpos xeométricos son esferas concéntricas conectados 3:

• descrito que pasa a través dos vértices;
• inscrita sobre cada unha das súas caras no medio dela;
• media de todas as arestas no medio.

O raio da esfera descrito pola seguinte fórmula calcúlase:

• R = a: 2 x TG π / g x TG θ: 2.

O raio da esfera inscrito é calculada como segue:

• R = a: 2 x CTG π / p x TG θ: 2,

onde θ - ángulo diedro que é entre facetas adxacentes.

O raio medio da esfera pode ser calculada mediante a seguinte fórmula:

• ρ = un pi cos / p: 2 sin π / h,

onde h = a magnitude de 4,6, 6,10, ou 10. A relación entre o raio da inscrito descrito e simetricamente respecto ao p e q. El calcúlase do seguinte xeito:

• R / R = tg π / p x TG π / q.

A simetría de poliedros

A simetría do poliedros regulares é de interese primario para estes corpos xeométricos. Enténdese como un movemento do corpo no espazo, o que deixa o mesmo número de vértices, caras e arestas. Noutras palabras, baixo a influencia de simetría transformacións bordo, vértice, ou cara mantén a súa posición orixinal, ou se move para a posición inicial de outra nervio, os outros vértices ou caras.

Elementos de simetría dos poliedros regulares son comúns a todo tipo de sólidos xeométricos. Aquí é conducida sobre a transformación de identidade, o que deixa calquera dos puntos na posición orixinal. Entón, cando conecta o prisma poligonal pode obter algunhas simetrías. Calquera deles pode ser representado como o produto de reflexión. Simetría, que é o produto dun número par de reflexións, chamada directa. Se é o produto dun número impar de reflexións, entón é chamado de producto. Así, todas as voltas arredor da liña representan simetría straight. Calquera reflexión poliedro - é a simetría inversa.

Para entender mellor os elementos de simetría do poliedros regulares, pode tomar o exemplo do tetraedro. Calquera liña que pase a través dun dos vértices e centro da forma xeométrica, pode ter lugar, ea través do centro da aresta oposta a ela. Cada unha das curvas 120 e 240 ° en torno á liña pertence á simetría tetraédrica plural. Desde que 4 vértices e caras, temos un total de oito simetrías directos. Calquera das liñas que pasan a través do medio das arestas eo centro do corpo, xa que atravesa o medio da aresta oposta. Calquera rotación de 180 °, chamada media volta en torno a unha simetría straight. Dende o tetraedro ten tres pares de costelas, ten tres liñas de simetría. Con base no exposto, podemos concluír que o número total de simetría directa, e incluíndo a transformación de identidade, será de ata doce. Outros tetraedro simetría directa non existe, pero ten 12 simetría inversa. Por conseguinte, só 24 caracterizado simetrías tetraedro. Para maior claridade, podemos construír un modelo dun tetraedro regular feita de papel e comproba que é o corpo xeométrica realmente ten só 24 simetría.

Dodecaedro eo icosaedro - máis próximo á zona do corpo. Icosahedron ten o maior número de caras, o ángulo diedro e abrigo pode firmemente agarrarse á esfera inscrita. Dodecaedro ten o menor defecto maior ángulo sólido angular no vértice. Pode dar para cubrir a esfera circunscrita.

poliedros dixitalización

exploración poliedros regulares, que todos grudadas na infancia, ten unha morea de conceptos. Se hai un conxunto de polígonos, cada lado dos que é identificado con só un lado do poliedro, a identificación das partes debe cumprir dúas condicións:

• de cada polígono, pode ir a un polígono tendo a identificación do lado;
• lado identificable debe a mesma lonxitude.

É un conxunto de polígonos que atenden a estas condicións, e chámase un varrido poliedro. Cada un destes corpos ten varios deles. Por exemplo, un cubo de que existen 11 pezas.