Progresión xeométrica e as súas propiedades

progresión xeométrica é importante en matemáticas como unha ciencia, e significado aplicado, xa que ten un alcance moi amplo, mesmo nas matemáticas máis elevados, por exemplo, na teoría da serie. As primeiras informacións sobre o progreso chegou ata nós do antigo Exipto, especialmente na forma dun problema ben coñecido do papiro de Rhind sete persoas con sete gatos. Variacións desta tarefa foron repetidas moitas veces en momentos diferentes doutras nacións. Mesmo o Velikiy Leonardo Pizansky, coñecido como Fibonacci (XIII c.), Falou con ela no seu "Libro do Abacus."

Así que a progresión xeométrica ten unha historia antiga. Representa unha secuencia numérica cun primeiro membro distinto de cero, e cada un dos seguintes, comezando co segundo determínase multiplicando a fórmula de recorrencia anterior a un número constante, distinto de cero, que se chama progresión denominador (que xeralmente designada empregando letra q).
Obviamente, se pode atopar dividindo cada termo posterior da secuencia ao anterior, é dicir, z 2: z = 1 ... = z: z n-1 = .... En consecuencia, para a maioría progresión do traballo (Zn) suficientes de que sabe o valor do primeiro termo do denominador e y 1 q.

Por exemplo, deixar que z 1 = 7, Q = - 4 (Q <0), entón o seguinte progresión xeométrica obtense 7-28, 112-448, .... Como verás, a secuencia resultante non é monótona.

Recórdese que unha secuencia arbitraria de monótono (aumentando / reducindo a) cando un dos seus membros seguir máis / menos que a anterior. Por exemplo, a secuencia de 2, 5, 9, ..., e -10, -100, -1000, ... - monótono, o segundo un - unha progresión xeométrica decrecente.

No caso de que Q = 1, todos os membros atópanse a ser, e se chama a progresión constante.

A secuencia era a progresión deste tipo, debe satisfacer a seguinte condición necesaria e suficiente, a saber: a partir da segunda, cada un dos seus membros debe ser a media xeométrica dos membros veciños.

Esta propiedade permite que baixo certa progresión arbitraria mandato de dous constatación adxacente.

n-ésimo termo exponencialmente facilmente atopou na fórmula: Zn = 1 z * q ^ (n-1), z sabendo primeiro membro 1 eo denominador q.

Xa que a secuencia de números ten unha suma, entón algúns cálculos simples dar unha fórmula para calcular a suma do primeiro progresión de membros, a saber:

S N = - (Zn * Q - Z 1) / (1 - q).

Substituíndo, na fórmula seu valor expresión Zn z 1 * q ^ (n-1) para obter unha segunda fórmula suma da progresión: S N = - Z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

É digno de atención o seguinte feito interesante: a táboa de arxila atopada en escavacións da antiga Babilonia, que se refire á VIN. BC, contén forma notable a suma de 1 + 2 + ... + 22 + 29 igual a 2 ao menos poder décimo 1. A explicación deste fenómeno aínda non se atopou.

Observamos unha das propiedades de progresión xeométrica - un traballo constante dos seus membros, espazos a distancias iguais das extremidades da secuencia.

De particular importancia desde o punto de vista científico, algo como unha progresión xeométrica infinita e calcular o seu valor. Partindo do principio de que (in) - unha progresión xeométrica con denominador q, satisfacendo a condición | Q | <1, a cantidade será referido o límite para o que xa coñecemos a suma dos seus primeiros membros, con aumento ilimitado de n, entón téñense en achegando infinito.

Atopar ese valor como un resultado do uso da fórmula:

S n = y 1 / (1- q).

E, como a experiencia demostrou, a aparente sinxeleza desta progresión é escondido un potencial de aplicación enorme. Por exemplo, se construír unha secuencia de cadrados de acordo co seguinte algoritmo, que une os puntos medios do anterior, a continuación, eles forman unha progresión xeométrica infinita cadrado que ten un denominador 1/2. A mesma forma de progresión e a área de triángulos, obtido en cada fase de construción, ea súa suma é igual á área do cadrado orixinal.