Gauss: exemplos de solucións e casos especiais

método de Gauss, tamén chamado de método de eliminación gradual de variables descoñecidas, en homenaxe ao científico alemán destacado KF Gauss, mentres aínda está vivo recibiu o título non oficial "Rei de matemáticas." Sen embargo, este método foi coñecido moito antes do nacemento da civilización europea, aínda no século I. BC. e. estudiosos chineses antigos telo usado nos seus escritos.

Gauss é un clásico forma de resolver sistemas de ecuacións lineares alxébrica (Slough). É ideal para unha solución rápida para as matrices de tamaño limitado.

O método en si consiste en dous movementos: a fronte e reverso. Naturalmente directa chamado a secuencia mostrada forma triangular slae, é dicir, valor de cero ao abeiro da diagonal principal. Retracción implica o descubrimento consistente de variables, expresando cada variable a través do anterior.

Aprende a aplicar na práctica Gauss é só o suficiente para saber as regras básicas de multiplicación, adición e subtracción de números.

Co fin de demostrar o algoritmo para resolver sistemas lineais por este método, imos explicar un exemplo.

Entón, ser resoltos mediante Gauss:

x + 2y + 4z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4x-2y-2z = -6

Necesitamos das segunda e terceira liñas para se librar da variable x. Para iso, engade a el a primeira multiplicada por -2 e -4, respectivamente. obtemos:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-10y-18Z = -18

Agora, a segunda liña de multiplicar por 5 e engadir lo á terceira:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-3Z = -18

Trouxo o noso sistema a unha forma triangular. Agora imos realizar inversa. Comezamos coa última liña:
-3Z = -18,
z = 6.

A segunda liña:
2y + 3z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9

A primeira liña:
x + 2y + 4z = 3
X-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
x = -3

Substituíndo os valores das variables nos datos orixinais, nós comprobar a regularidade da decisión.

Este exemplo pode ser resolto moito calquera outras substitucións, pero a resposta é suposta ser o mesmo.

Acontece que na unidade de primeira liña son elementos con valores moi pequenos. Non é asustado, pero complica os cálculos. A solución é a Gauss con pivotamento sobre unha columna. A súa esencia é a seguinte: a primeira liña do máximo buscado elemento modulo, a columna en que está situado, trocan de lugar coa 1ª columna, que é o noso elemento máximo tórnase o primeiro elemento da diagonal principal. A continuación é un proceso de cálculo estándar. Se é necesario, o procedemento se modifican as columnas nalgúns lugares pode repetirse.

Outra versión do método é o método de Gauss Gauss-Jordan.

Tamén se usa para a solución de sistemas lineares cadrado, cando a matriz inversa da matriz e posto (número de liñas diferentes de cero).

A esencia deste método é que o sistema orixinal é transformado por cambios na matriz de identidade con máis variables constatación.

O algoritmo é que:

1. O sistema de ecuacións é, como no método de Gauss, unha forma triangular.

2. Cada liña é dividida nun número específico de tal xeito que a unidade teña ligado a diagonal principal.

3. A última liña é multiplicada por un número e subtraído do penúltimo para non entrar en diagonal principal 0.

4. Paso 3 é repetido secuencialmente para todas as liñas ata que, finalmente, non formar a matriz unidade.