Método de iteración simple para sistemas de ecuacións lineares resolver (Slough)

método de iteración simple, tamén chamado de método de aproximación sucesiva, - un algoritmo matemático para atopar os valores de valor descoñecido a través dun gradual esclarece-lo. A esencia deste método é que, como o seu nome indica, están expresando gradualmente unha aproximación inicial das seguintes, se están facendo os resultados máis refinados. Este método é usado para atopar o valor da variable en función dunha dada, e resolver sistemas de ecuacións, lineares e non lineares.

Imos ver como este método é aplicado na solución de sistemas lineares. algoritmo de iteración de punto fixo é a seguinte:

1. O exame das condicións de converxencia na matriz de inicio. Un teorema de converxencia: a matriz sistema orixinal é diagonalmente dominante (isto é, cada fila de elementos da diagonal principal debe ser maior en magnitude que a suma dos elementos diagonais laterais en valor absoluto), o método de iteracións simple - converxente.

2. A matriz do sistema orixinal non sempre é o predominio diagonal. Nestes casos, o sistema pode ser transformado. As ecuacións que satisfán a condición de converxencia é deixada intacta, con insatisfactorios e facer combinacións lineais, é dicir, multiplicar, restar, ecuación dobrados xuntos para producir o resultado desexado.

Se o sistema recibidas en diagonal principal son factores inconvenientes, a continuación, a ambos os dous lados desta ecuación son engadidos con termos da forma _i * x _i, que debe coincidir cos sinais de signos dos elementos diagonais.

3. Converter o sistema resultante vista normal:

^{x - = β - + α *} x -

Isto pódese facer de varias maneiras, por exemplo, como segue: a primeira ecuación para expresar x ₁ través doutro descoñecido desde vtorogo- x _2, x ₃ do tretego- etc. Cando estea a utilizar a fórmula:

_{α ij = - (a ij /} A II)

_i = _i b / A _II
Asegúrese de unha vez que o sistema resultante de tipo normal corresponde á condición de converxencia:

Σ (J = 1) | α _ij | ≤ 1, e I = 1,2, ... n

4. Comezar utilizado, en realidade, o método das aproximacións sucesivas.

x ⁽⁰⁾ - aproximación inicial, que expresan a través do mesmo x ^(1), seguido por x ⁽¹⁾ x expreso ^(2). A fórmula xeral dunha forma de matriz como segue:

X ^{(N) = β - + α} * x (n- ¹⁾

Calculamos, ata chegar a precisión desexada:

_{Max | x i (k) -x} I (k + 1) ≤ ε

Entón, imos ollar na práctica, o método de simple iteración. exemplo:
Resolver sistemas lineais:

4,5x1-1.7x2 + = 2 3.5x3
3.1x1 + = 1 2.3x2-1.1x3
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 con precisión ε = 10 ^-3

Vexa prevalecer os elementos da diagonal do módulo.

Vemos que a condición de converxencia é satisfeito por unha terceira ecuación. A primeira e segunda transformación, a primeira ecuación que engadir dous:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

Restar o terceiro un:

-2,7x1 + 4.2x2 + = 2 1.2x3

Nós transformamos o sistema orixinal no equivalente:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + = 2 1.2x3
1.8x1 + 2.5x2 + 4 = 4.7x3

Agora imos reducir o sistema ao modo normal:

x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Nós encontramos a converxencia do proceso iterativo:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, é dicir, a condición de ser atendida.

0,3947
aproximación inicial x ⁽⁰⁾ = 0,4762
0,8511

Substituír estes valores na ecuación do tipo normal, obtemos os seguintes valores:

0,08835
X ⁽¹⁾ = 0,486793
0.446639

novos valores de substitución, temos:

0.215243
x ⁽²⁾ = 0,405396
0.558336

Seguimos para calcular a que ata chegar máis preto dos valores que atender ás condicións especificadas.

0,18813

x ⁽⁷⁾ = 0,441091

0.544319

0.188002

x ⁽⁸⁾ = 0,44164

0.544428

Comprobar a exactitude dos resultados:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * = 0,544 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 2,5 * 0,1880 + 0,441 + 4,7 * = 0,544 3,9977

Os resultados obtidos por substitución dos valores obtidos para a ecuación orixinal, satisfacer completamente ecuación.

Como podemos ver, o método de iteración simple dá un resultado moi precisos, pero para resolver esta ecuación, tivemos que gastar moito tempo e facer cálculos complicados.